Sul problema di Apollonio

Sulle rive di uno stagno, passò un satiro e La vide, Reginella sempre bella, è la musica di Euclide. È all’identità, il riflesso, ciò a cui diede movimento, ben tre sassi egli lanciò, distribuendoli nel vento. Poi dall’ombra nacque un fiore, tre fu il fischio della voce.

Apollonio da Perga (terzo secolo a.C.) fu, assieme ad Euclide e al nostro Archimede, uno dei più grandi matematici dell’antichità. In un’opera chiamata Tangenze, propone un problema molto interessante:

Dati tre cerchi tangenti a due a due,

trovare un cerchio tangente a tutti e tre

Purtroppo gli scritti originali sono persi nella storia e la soluzione data da Apollonio non è pervenuta fino a noi, ma, per fortuna conosciamo il problema grazie ad una citazione di Pappo. Studierò questo problema e la sua iterazione muovendomi lungo il sentiero che l’ispirazione mi ha tracciato.

Soluzione Euristica

Siano tre cerchi tangenti a due a due, se si espandono come le onde di tre sassi lanciati in uno stagno, c’è un instante nel quale i tre cerchi passano per lo stesso punto. Questo punto si trova all’interno della zona detta triangolo curvilineo, delimitata dai tre cerchi iniziali ed è il centro del cerchio da trovare! Infatti se ho due cerchi tangenti di raggi ed e voglio trovare un cerchio di raggio tangente ai due, li espando fino a che i raggi siano e . Uno dei punti in comune dei nuovi cerchi può essere il centro del cerchio di raggio .

Se esiste una soluzione del Problema di Apollonio (PdA), si può applicare questa espansione ai tre cerchi tangenti a due a due per trovare il cerchio richiesto. Ma l’espansione di cui si parla non è una trasformazione del piano in se stesso, non è neanche bigettiva. Per andare avanti userò la geometria che sembra essere la più naturale per questo argomento: la geometria inversiva nel piano. Inoltre esistono due soluzione del PdA: oltre al cerchio che si trova all’interno del triangolo curvilineo ce n’è anche uno esterno che è tangente ai tre cerchi iniziali.

Soluzioni del Problema di Apollonio

In questo capitolo ci sono tre soluzioni del PdA. Ognuna è indipendente dalle altre ma nei capitoli successivi si uniranno nello studio dell’iterazione del PdA. Esiste anche una soluzione con riga e compasso, credo sia di Hartshorne.

Introduzione alla Geometria Inversiva

Sperando di sistemare, con poco sforzo per il lettore, un’esaudiente introduzione alla geometria inversiva, comincio con la seguente

definizione 1

Siano dati un segmento ed una constante positiva , definisco come il luogo dei punti tali che

Il lettore può sempre scegliere la dimensione dello spazio euclideo in cui cercare i punti del luogo . Le proposizioni che seguono mi servono per la soluzione inversiva del PdA ma sono valide per ogni . Per ora suggerisco di porre

cioè di guardare solo la retta passante per

Se il luogo è semplicemente il punto medio tra A e B. Se k diverso 1 è composto da due punti, siano C e D.

esercizio 1 Si considerino i punti A=0 e B=3 sulla retta dei reali. Trovare i punti C e D del luogo gamma2 = { insieme dei punti P tali che AP = 2 BP }

Risulta che AC = K BC quindi

AB = AC + BC = K BC + BC = ( K + 1 ) BC

e, analogamente, AD = K BD quindi

AB = AD - BD = K BD - BD = (K - 1) BD

Segue che

e

Inoltre

da cui si ricava che che ha senso perchè si suppone . Fissato il segmento , questa ultima relazione permette di muovere il luogo al variare di .

esercizio 2 Si prenda la retta reale con A = -1, B=1 e K appartenente (1,infinito). Esprimere i punti C e D in funzione di K.

definizione 2 (inversione di centro O e raggio r)

L’immagine di un punto , diverso da , è il punto che sta sulla semiretta uscente dal centro e tale che

Si il segmento e, come nell’esercizio precedente, si trasformi con l’inversione di centro zero e raggio uno. Si scelga la constante e si trovino i punti e corrispondenti. Attenzione! Non si può ancora considerare il luogo perchè coincide proprio con che, per adesso, non si può invertire. In particolare, l’espressione analitica di questa trasformazione è

Ecco alcune proprietà:

Ma dove va a finire il punto ? Per saperlo bisogna definire l’ambiente dove si svolge la geometria inversiva, cioè dove ogni inversione è una bigezione. Occorre aggiungere un punto ideale che sia l’immagine di , mantendendo le proprietà viste prima.

definizione 3 (retta inversiva S1)

É la retta con un punto in più a cui si attribuisce i simbolo .

Si sceglie questo nome per il punto aggiunto proprio perchè, al crescere di , il punto si avvicina ad e di conseguenza aumenta. Niente paura, la retta inversiva si può immaginare come un cerchio e per passare da a si può usare la

Ma ci sono altri punti nel luogo ? Se si suppone che esista un altri punto appartenente a che non sia allienato con la retta , si può guardare nel piano contenente quel punto e la retta

d’ora in avanti si pone

per sviluppare gli strumenti di geometria inversiva che servono a risolvere il PdA. Tanto per cominciare il luogo gamma1 è una retta, precisamente, l’asse del segmento .

Il piano inversivo si può immaginare come la superficie di una sfera dove il punto all’infinito è il polo nord. Disegnare nel piano inversivo è come diseganre su un pallone dove le rette sono le circonferenze passanti per il polo nord. Non può mancare nella geometria inversiva questa

definizione 4 (birapporto inversivo)

Da non confondere con il birapporto proiettivo, presi quattro punti distinti è definito come segue

Proposizione 1

Il birapporto è invariante per le trasformazioni della geometria inversiva.

Sia l’inversione di centro , raggio e siano i punti come in figura

dove . Allora e . I triangoli sono simili, avendo due lati in proporzione ed un angolo comune in O. quindi . Se prendo quattro punti distinti e ne calcolo il birapporto , poi trasformo con un’inversione e ottengo altri punti e ne calcolo il birapporto risulta

questo significa che il birapporto si conserva i.e. è un invariante della geometria inversiva. Facendo il conto

Proposizione 2 (conservazione dei luoghi) Se si trasforma un luogo con un’inversione, si ottiene un altro luogo .

……….. continua da pagina 9

Soluzione inversiva

Se inverto due cerchi tangenti rispetto ad una circonferenza gamma con centro O nel punto di tangenza, ottendo due rette parallele

Siano ora tre cerchi tangenti a due a due. Si scelga uno dei vertici del triangolo curvilineo come centro di una circonferenza gamma e si inverta. Si otterrà un cerchio tangente a due rette parallele.

Ma in quest’ultima figura trovare le due soluzioni del PdA è più facile. Data l’immagine dei tre cerchi,

i due cerchi soluzione sono anch’essi tangenti alle due rette parallele e, applicando di nuovo la stessa inversione,

Soluzione classica

La retta proiettiva complessa

Cerchi reali e rette

Trasformazioni di Möbius sulla sfera

Soluzione proiettiva

Modello dello spazio iperbolico

Classificazione delle matrici hermitiane

Estensione di Poincarè

Altri modelli dello spazio iperbolico

Iterazione

Iterazione naturale

Anatema: definizione costruttiva

Proprietà dell’Anatema

Un altro Anatema

Frazioni continue complesse e orosfere nello Spazio Iperbolico